记忆这本书篇幅太长了，让暑假越不过其中一成厚度；记忆这本书篇幅太短了，连暑假都不能完全记载下来，只有只言片语……
转眼间，回看往昔，哭迎今朝，痴笑明日……
又到了开学时期。
回想起昨夜，与艾希又攻克了3个难题。
我便后悔，为什么没有多玩一下？
艾希我的老师，德厚流光，才高八斗。学如沧海，广纳群川之浩渺；识若繁星，遍照长夜之迷茫。
教泽如春，催开桃李之芬芳；师恩似雨，润泽芝兰之茁壮。
言似金箴，启人心智明真理；行如圭臬，立世楷模树正风。
心慈若母，关爱有加温且暖；意善若父，训导无私严亦慈。
志在育人，倾囊相授传千古；情钟授业，竭虑殚精育万贤。
而昨夜，我也与她共讨3个问题：
首先是“穿针引线法”解高次不等式。
我们先从一个简单的例子开始：(x - 1)(x + 1) ＞ 0 ，很容易就能得出其零点为 -1 和 1 ，用穿针引线法从数轴右上方开始穿线，可得 x ＜ -1 或 x ＞ 1 时不等式成立。
接着，难度稍微提升一点，比如 (x - 2)(x + 3)(x - 1) ＜ 0 。先找出零点 2 、-3 、1 ，然后穿针引线，得到不等式的解集为 -3 ＜ x ＜ 1 或 1 ＜ x ＜ 2 。
当遇到更复杂的情况，像 (x - 1)^2 (x + 2)(x - 3) ＞ 0 ，由于 (x - 1)? 是二次项，属于偶数次，所以线在 x = 1 处不穿过，只是接触后反弹。经过分析得出 x ＜ -2 或 x ＞ 1 且 x ≠ 3 时不等式成立。
再来看一道具有挑战性的题目，假设为 (x - 1)? (x + 2)?(x - 4) ＜ 0 。这里 (x - 1)?是奇数次幂，线要穿过 x = 1 ；(x + 2)?是偶数次幂，线在 x = -2 处不穿过。经过仔细的计算和穿线，最终得出解集。
而在高中奥赛级别中，可能会遇到这样的题目：(x? - 5x + 6)(x? - 2x - 3)(x? + 4x + 3) ＞ 0 。我们先对每个二次式进行因式分解，得到 (x - 2)(x - 3)(x - 3)(x + 1)(x + 1)(x + 3) ＞ 0 ，找出所有的零点：2 、3 、-1 、-3 ，然后运用穿针引线法进行求解。
“这道题看起来好复杂啊！”我忍不住抱怨道。
艾希点了点头，“是啊，不过我觉得穿针引线法或许能派上用场。解这类高次不等式，首先要将不等式左边的式子进行因式分解，找出所有的零点。”
“然后呢？”我迫不及待地问道。
“接下来，在数轴上标出这三个点。这就像是给数轴穿上了几颗珠子。”艾希形象地比喻道。
然后，！！！重点！！！我们从数轴的『右上方』开始，沿着数轴画线，依次穿过这几个点。当经过一个零点时，线的方向就要改变。这里有个小技巧，就是奇穿偶回。当因式的次数是奇数时，线穿过零点；当因式的次数是偶数时，线不穿过零点，只是在零点处接触后反弹。
“为什么要这样呢？”我好奇地问道。
艾希思考了片刻，回答道：“因为当 x 的值从一个区间到另一个区间时，每个因式的正负性都会发生变化，从而影响整个式子的正负性。而奇穿偶回这个技巧能帮助我们更准确地判断式子在不同区间的正负。”
经过一番仔细的分析和计算，我们成功解出了这些不等式。
“原来如此，穿针引线法真是太神奇了！”我兴奋地说道。
接下来艾希让我自己做了几道例题：
例题1：基础难度
题目：解不等式
x? - 5x + 6 ＞ 0。
例题2：中等难度
题目：解不等式 x??3x??4x+12＞0。
例题3：竞赛难度
题目：解不等式 (x??4x+4)(x??2x+1)＞(x??3x+2)2(x? - 4x + 4)(x?- 2x + 1)
接着我们探索的是极化恒等式：
极化恒等式的表达式为：对于向量a和向量b，有 a ·b =1/4（｜a+b｜?-｜a-b｜?）[此处和后面都省略向量符号,因为实在不会打] 。为了更好地理解这一公式，我们先从一个简单的例子入手。
假设向量A=（1，2），向量B=（3，4），，那么向量A加向量B=（4，6）， ｜a+b｜?=4?+6?=52；向量A减向量B=（-2，-2）， ｜a-b｜?=（-2）?+（2）?=8。将其代入极化恒等式，可得a·b=1/4*（52-8）=11 ，而直接计算a·b=1*3+ 2*4=11，两者结果一致，初步验证了极化恒等式的正确性。
接着，我们再看一个稍微复杂一点的例子。若向量A=（2，-1），向量B=（-1，3） ，通过同样的计算步骤，再次验证了极化恒等式的有效性。
当然，这个也可以直接用式子出来：
1/4（｜a+b｜?-｜a-b｜?）
=1/4（（a+b）?-（a-b）?）
=1/4（（a?+2ab+b?）-（a?-2ab+b?））
=1/4（4a·b）
=a·b
其中，a?=｜a｜?，b?=｜b｜?
随着对基本例子的熟悉，我们开始尝试将极化恒等式应用到具体的题目中。比如，在一个三角形中，已知和的长度，求的值。此时，我们就可以巧妙地运用极化恒等式，将问题转化为求和的值。
我们找来一道在三角形ABC中，已知向量AB的模长等于3，向量AC的模长等于5 ，求向量AB乘向量AC最大值的问题。
“这道题如果直接求好像不太容易。”我有些苦恼。
艾希眼睛一亮：“我们可以用极化恒等式啊！设向量AD=1/2(AB+AC），那么向量AB乘向量AC=向量AD长模的平方减9/4，要使向量AB乘向量AC最大，就是要让向量AD模长最大，当与 D与C重合时，向量AD的模长最大为 5，所以向量AB乘向量AC 的最大值为25-9/4= 91/4 。
当遇到更具挑战性的问题，如在空间向量中，已知四面体的顶点坐标，求两个向量的数量积时，极化恒等式同样能发挥重要作用。通过将空间向量分解为平面向量的组合，再利用极化恒等式进行计算，往往能简化复杂的运算过程。
然而，在探究的过程中，我们并非一帆风顺。有时会因为对向量的运算不够熟练而导致错误，有时会在复杂的图形中迷失方向。但我们相互鼓励，不断回顾基础知识，重新梳理思路。
“别灰心，我们再仔细想想向量的性质。”艾希对眉头紧锁的我说道。
“嗯，好，我相信我们一定能攻克这个难关！”我坚定地回答。
我相信经过反复的练习和思考，我们可以逐渐掌握极化恒等式的精髓，并且能够熟练地运用它解决各种难题。
最后我们探索了柯西不等式在高中中的常用结论：
我们首先了解到柯西不等式的基本形式：对于两组实数 a?，a? …a ? 和 b ?，b? …b?，有 （a??+a??…+a??）（b??+b??…+b??） ≥ （a?b?+a?b?…+a?b?） 。为了更直观地感受它的魅力，我们决定从简单的例子入手。
“那我们先假设 a ?=1， a ?=2， b?= 3，b? = 4来验证一下吧。”艾希提议道。
于是，我们开始计算：左边 （1?+2?）（3?+?4） =5*25=125 ，右边 （1+3） （2+4） =121 ，因为 125＞121，所以不等式成立。
初次的验证成功让我们备受鼓舞，接着我们又尝试了更多复杂一些的数字组合，比如 a ?=1285542,a?=27255.265,a ?=632/75555，b ? =㏒?42555，b ?=cos60°， b?=0。在计算过程中，我们时而因为繁琐的平方运算感到困惑，时而因为符号的处理出现小错误，但我们始终相互鼓励，认真检查每一步计算。
随后，我们开始尝试用柯西不等式解决实际的数学问题。比如，已知 x+2y=5 ，求 x?+y?的最小值。
“我们可以把x 和 2y看作一组数，1 和 1看作另一组数，然后运用柯西不等式。”艾希一边思考一边说道。
经过一番推导和计算，我们得出 x?+y?≥25/5=5 ，即 x?+y?的最小值为5 。
魂在脑中游,人在路上走。
思绪还在昨日,身体已入今日。
不知不觉中已到校门口……
“艾希，就要分别啦。没啥想对我说的嘛？”我好奇的向艾希询问道。
“你这又不是最后的离别，你搞啥分别词？不过，我倒是的确有些话想对你说。”艾希一脸无所谓的说道。
“那我们会有最后的离别吗？”我忍不住对艾希问道。
“也许有，希望那时……我能把会的都交（通假教）给你，让你也能够独自在舞台上唱着那独角戏……”艾希感叹了一下。
“嘿嘿，那你你知道上海中心大厦螺旋上升曲面三角形设计的优点嘛？”艾希不怀好意的说道。
“我还以为啥呢，白期待了。”我大失所望的回应道。
“这优点嘛！
其一，减少建筑的表面积，从而减少与外界的能量交换和能量损失。
其二，圆润曲面，减少光线死角，浪楼内，观光者可以多角度欣赏城市风光的同时也能让冬季更多阳光射入。
其三，螺旋上升的造型，可以减少空气对流，经受台风考验。
其四，与周围高楼差异大，形成独特的城市地标景观。”我得意的说道。
“说完啦？说完了就进去吧……”
艾希一推，我又进入了那无底深渊之中……
“好吧，下次放假再见……艾！希！”此仇下次我一定找艾希报。
“咳咳，加油！我相信你这个学期能突破本科线的！”艾希又对我鼓励道。
“行行行！”我挥手自兹去，空留黄鹤楼。